Question

已知曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为    ．

Answer

根据曲线y=（a-3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x3-ax2-3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立．
【解析】
因为y=（a-3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=在x＞0时有解，
所以3（a-3）x3+1=0，即a-3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x3-ax2-3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x2-2ax-3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．