Question

△OAB中，
（1）点C为直线AB上一点，且，试用表示．
（2）点C₁、C₂，…，C₉依次为线段AB的10等分点，且，求实数λ的值．
（3）条件同（2），又点P为线段AB上一个动点，定义关于点P的函数，求f（P）的最小值．

Answer

（1）根据向量减法的三角形法则，可得=-，再由，=+可得答案；
（2）根据向量定比分点公式，当C将AB分为长度比为a：b的两段时，=，逐一求出各分点对应的向量累加可得答案．
（3）设=x，则=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+…+9|x-9|+10|x-10|利用零点分段法化简函数的解析式，并结合一次函数的图象和性质分析函数的单调性，可得函数的最小值．
【解析】
（1）在△OAB中=-
∴=t-t
∴=+=t+（1-t）
（2）∵C1、C2，…，C9依次为线段AB的10等分点，
∴=+；
=+；
…
=+；
…
=+；
∴=（++…+）=
故λ=
（3）设=x，则
，
=
=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+…+9|x-9|+10|x-10|
当x∈[k，k+1]时，k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
f（x）=（x-1）+2（x-2）+…+k（x-k）+k（k+1-x）…+10（10-x）
=x+2x+…+kx-（k+1）x-（k+2）x-…-10x-12-22-…-k2+（k+1）2+（k+2）2+…+102
=（k2+k-55）x-[12+22+…+k2-（k+1）2-（k+2）2-…-102]
当k∈{0，1，2，3，4，5，6}时，k2+k-55＜0，函数为减函数
当k∈{7，8，9}时，k2+k-55＞0，函数为增函数
故当k=7时，f（P）取最小值f（7）=1×6+2×5+3×4+4×3+5×2+6×1+7×0+8×1+9×2+10×3=112