Question

已知△ABC的三个内角A．B．C成等差数列，且A＜B＜C，tanA•tanC=2+．
①求角A、B、C的大小；
②如果BC边的长等于，求△ABC的边AC的长及三角形的面积．

Answer

（1）由三角形的三个内角成等差数列及三角形的内角和定理求出B的度数及A+C的度数，利用特殊角的三角函数值求出tan（A+C）的值，根据两角和的正切函数公式及已知的tanAtanC的值，即可求出tanA+tanC的值，与tanAtanC的值联立，根据A和C的范围即可求出tanA和tanC的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，在由A+C的度数求出C的度数；
（2）由|BC|，sinA和sinB的值，利用正弦定理求出|AC|，然后由|AC|，|BC|及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（1）∵A+B+C=180°，2B=A+C，
∴B=60°，A+C=120°，
∴tg（A+C）=-，
又tg（A+C）=，
∴-，
∴tgA+tgC=3+，
又tgAtgC=2+，且0＜A＜60°＜C＜120°，
∴tgA=1，tgC=2+，
∴A=45°，∴C=120°-45°=75°；
（2）由正弦定理：，
∴|AC|=6，
∴S△ABC=|AC|•|BC|•sinC