Question

动圆M过定点A（-，0），且与定圆A´：（x-）²+y²=12相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求•的取值范围．

Answer

（1）依题意动圆与定圆相内切，可得|MA´|+|MA|=2＞2，利用椭圆定义，即可求出动圆圆心M的轨迹的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即向量数量积公式，即可求得•的取值范围．
【解析】
（1）A´（，0），依题意动圆与定圆相内切，
∴|MA´|+|MA|=2＞2             …（3分）
∴点M的轨迹是以A´、A为焦点，2为长轴上的椭圆，
∵a=，c=
∴b2=1．
∴点M的轨迹方程为        …（5分）
（2）【解析】
设l的方程为x=k（y-2）代入，消去x得：（k2+3）y2-4k2y+4k2-3=0
由△＞0得16k4-（4k2-3）（k2+3）＞0，∴0≤k2＜1       …（7分）
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则y1+y2=，y1y2=
又=（x1，y1-2），=（x2，y2-2）
∴•=x1x2+（y1-2）（y2-2）=k（y1-2）•k （y2-2）+（y1-2）（y2-2）
=（1+k2）（-2×+4）=9（1-）              …（10分）
∵0≤k2＜1，∴3≤k2+3＜4
∴•∈[3，）         …（12分）