Question

直线y=-x+4与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A、B，如果弦|AB|的长度为4．
（1）求P的值；
（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．

Answer

（1）联立直线与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程后利用弦长公式列式求p的值；
（2）直接利用OA和OB所对应的向量的数量积的坐标运算证明．
（1）【解析】
直线AB的方程为y=-x+4，联立，得x2-2（p+4）x+16=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16．
由|AB|=
∴，解得p=2，满足△=4（p+4）2-64＞0；
（2）证明：x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16，
∴x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+4）（-x2+4）
=2x1x2-4（x1+x2）+16=2×16-4×12+16=0．
所以OA⊥OB．