Question

选修：4-2：矩阵与变换
若圆C：x²+y²=1在矩阵（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

Answer

设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），代入椭圆方程，对照圆的方程即可求出a和b的值，从而得到矩阵A，再代入逆矩阵的公式，求出结果．
【解析】
设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），
则  =，即 …（4分）
又因为点P'（x'，y'）在椭圆 上，所以．
由已知条件可知，x2+y2=1，所以 a2=4，b2=3．
因为 a＞0，b＞0，
所以 a=2，b=． …（10分）
∴A=，
∴根据A=的逆矩阵A-1=，
∴矩阵A的逆矩阵A-1=．