Question

规定A=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且=1，这是排列数A（n，m是正整数，n≤m）的一种推广．
（Ⅰ） 求A的值；
（Ⅱ）排列数的两个性质：①A=nA，②A+mA=A（其中m，n是正整数）．是否都能推广到A（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（Ⅲ）已知函数f（x）=A-4lnx-m，试讨论函数f（x）的零点个数．

Answer

（Ⅰ）直接代入定义求解；
（Ⅱ）利用新定义，结合排列数的两个性质即可证明推广的结论；
（Ⅲ）由新定义展开函数f（x），求导后得其导函数的零点，得其在各区间段内的单调性，然后对m进行讨论得其零点个数．
【解析】
（Ⅰ）；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是①=，②（x∈R，m∈N*）
证明：①当m=1时，左边=，右边=，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）…（x-m+1）=x{（x-1）（x-2）…[（x-1）-（m-1）+1]}=．
因此，（x∈R，m∈N*）成立．
②当m=1时，左边==右边，等式成立；
当m≥2时，左边x（x-1）…（x-m+1）+mx（x-1）…（x-m+2）
=x（x-1）…（x-m+2）（x-m+1+m）
=（x+1）x（x-1）…（x-m+2）
=（x+1）x（x-1）…[（x+1）-m=1]
==右边
因此，+m=（x∈R，m∈N*）成立．
（Ⅲ）f（x）=
设函数g（x）=x3-3x2+2x-4lnx，
函数f（x）零点的个数等价于函数g（x）与y=m公共点的个数．
f（x）的定义域为（0，+∞）
=．
令g′（x）=0，得x=2

x                                                      （0，2）                      2 （2，+∞）
g′（x） - +
g（x） 减 -4ln2 增

∴当m＜-4ln2时，函数g（x）与y=m没有公共点，即函数f（x）不存在零点，
当m=-4ln2时，函数g（x）与y=m有一个公共点，即函数f（x）有且只有一个零点，
当m＞-4ln2时，函数g（x）与y=m有两个公共点，即函数f（x）有且只有两个零点．