Question

已知甲箱中只放有x个红球与y个白球（x，y≥0且x+y=6），乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球（球除颜色外，无其它区别）．若甲箱从中任取2个球，从乙箱中任取1个球．
（Ⅰ）记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y的值；
（Ⅱ）当x=2时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）．

Answer

（I）据排列组合求出三个球的颜色各不同的取法，利用古典概型的概率公式求出概率，再利用基本不等式求其最大值即可．
（II）由题意知当x=2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，故ξ的取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的概率，写出分布列和期望．
【解析】
（I）由题意知：
P==≤=，
当且仅当x=y时，取等号，故当P取得最大值时x，y的值都为3．
（II）当x=2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，故ξ的取值是0，1，2，3．
则P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；
P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；
所以ξ的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）

ξ 1 2 3
P

…（11分）
故Eξ=0×+1×+2×+3×=，
所求取出的3个球中红球个数ξ的期望E（ξ）=．