Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上，数列{b_n}对任意的n≥2的正整数均满足2b_n=b_n+1+b_n-1，且b₁+a₁=3，b₅+a₅=22
（I）求r的值和数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）记，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由已知得出，求出{等比数列的定义得出r并确定{an}的通项公式
（II）数列{bn}是等差数列，且b1+a1=3，b5+a5=22，求出b1=2，b5=6，数列{bn}的公差为d=1．bn=2+（n-1）=n+1．
（III），应用错位相消法进行求和．
【解析】
（I）因为对任意的n∈N+，点（n，Sn）均在函数y=2x+r（r为常数）的图象上．
所以得，
当n=1时，a1=s1=2+r，
当n≥2时，
又因为{an}为等比数列，
所以r=-1，公比为2，
所以…..（5分）
（II）∵数列{bn}对任意的n≥2的正整数均满足2bn=bn+1+bn-1，
∴数列{bn}是等差数列
由于a1=1，a5=16，b1+a1=3，b5+a5=22，则b1=2，b5=6
∴数列{bn}的公差为，
∴bn=2+（n-1）=n+1…（7分）    
（III）因为
则Tn=
=
相减，得=
=-
=-
所以Tn=-=…（12分）