Question

已知a、b、c是△ABC的三条边，它们所对的角分别是A、B、C，若a、b、c成等比数列，且a²-c²=ac-bc，试求
（1）角A的度数；
（2）求证：sin²B=sinAsinC；
（3）求的值．

Answer

（1）由a、b、c成等比数列，可求得b2=ac，再利用余弦定理可求得cosA，从而可得角A的度数；
（2）由b2=ac，利用正弦定理即可证得sin2B=sinAsinC；
（3）由b2=ac，利用正弦定理可求得==sinA，从而可得答案．
【解析】
（1）∵a、b、c成等比数列，
∴b2=ac，
∵a2-c2=ac-bc，
∴a2-c2=b2-bc，
∴b2+c2-a2=bc
∴cosA===，
又∵A∈（0，π）
∴A=  （7分）
（2）∵b2=ac，
∴（2RsinB）2=（2RsinA）（2RsinC），
∴sin2B=sinAsinC （10分）
（3）∵b2=ac，
∴=，
∴==sinA=．（16分）