Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0）在区间[2，3]上的值域为[2，5]
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的函数g（x）=f（x）-（m+1）x在区间[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由f（x）的图象及对称轴可判断f（x）在[2，3]上递增，从而有f（2）=2，f（3）=5，联立即可解得a，b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x2-（m+3）x+2．分g（x）在[2，4]上递增、递减两种情况讨论，可得其对称轴与区间的位置关系，由此可得到不等式，解出即可．
【解析】
（Ⅰ）∵a＞0，∴所以抛物线开口向上且对称轴为x=1．
∴函数f（x）在[2，3]上单调递增．
由条件得，即，解得a=1，b=0．
故a=1，b=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，b=0．
∴f（x）=x2-2x+2，从而g（x）=x2-（m+3）x+2．       
①若g（x）在[2，4]上递增，则对称轴，解得m≤1；
②若g（x）在[2，4]上递减，则对称轴，解得m≥5，
故所求m的取值范围是m≥5或m≤1．