Question

设函数f（x）=1-e^-x，证明：当x＞-1时，f（x）≥．

Answer

把给出的不等式f（x）≥等价变形，然后构造函数，求出函数的导函数，利用导函数的符号判断原函数的单调性，从而求出最小值，原不等式得到证明．
证明：由⇔ex≥1+x．
当x＞-1时，f（x）≥当且仅当ex≥1+x．
令g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1．
当x≥0时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
当x≤0时，g′（x）≤0，g（x）在（-∞，0]上为减函数，
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时g（x）≥g（0），
即ex≥1+x．
所以当x＞-1时，f（x）≥．