Question

已知D为△ABC的边BC上一点，且AB：BC：CA=1：：1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为，且∠ADC=45°，求BD的长．

Answer

设三边之比为k，表示出三边长，
（1）利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将已知面积与sinA的值代入求出AB的值，在三角形ABD中，利用正弦定理即可求出BD的长．
【解析】
设AB：BC：CA=1：：1=k，则AB=AC=k，BC=k，
（1）由余弦定理得：cosA===-，
∵A为三角形的内角，∴A=120°；
（2）∵AB=CA，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAD=15°，
∵S△ABC=AB•AC•sin120°=，
∴AB=AC=2，
∵sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=，
则由正弦定理=得：BD==-1．