Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列   
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）先根据Sn+1=4an+2，得到Sn=4an-1+3，两式相减得到an+1=4an-4an-1 ，再变形得an+1-2an=2（an-2an-1），令n=1求出a2的值，由等比数列的定义得{an-2an-1}是以3为首项，2为公比的等比数列，即数列{bn}是等比数列；
（2）先由（1）和等比数列的通项公式，求出数列{nbn}的通项公式，再利用错位相减法求数列{nbn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）由题意知，Sn+1=4an+2   ①
∴Sn=4an-1+2 （n≥2）②
①-②：an+1=4an-4an-1
∴an+1-2an=2（an-2an-1）
令n=1得，s2=4a1+2=a1+a2，解得a2=5，
数列{an-2an-1}是以3为首项，2为公比的等比数列，
∵bn=an+1-2an，
∴数列{bn}是等比数列，
（2）由（1）得，bn=an+1-2an=3•2n-1，
∴nbn=3n•2n-1
∴Tn=3[1×2+2×21+3×22+…+n•2n-1]③
∴2Tn=3[1×21+2×22+…+（n-1）•2n-1+n•2n]④
③-④：-Tn=3[1+21+22+23+…+2n-1-n•2n]
=3×-3n•2n=（3-3n）•2n-3，
∴Tn=（3n-3）•2n+3．