Question

设P是△ABC内一点，△ABC三边上的高分别为h_A、h_B、h_C，P到三边的距离依次为l_a、l_b、l_c，则有++=1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是h_A、h_B、h_C、h_D，P到这四个面的距离依次是l_a、l_b、l_c、l_d，则有    ．

Answer

在平面中利用面积分割法，结合三角形面积公式证出++=1，结论成立．依此可得当P为四面体ABCD内一点时，利用体积分割法和锥体的体积公式，类似于平面中结论的证明方法可得+++=1，得到本题答案．
【解析】
如图，连结PA、PB、PC，可得
S△ABP+S△BCP+S△CAP=S△ABC，
即AB×lc+BC×la+CA×lb=S△ABC，…（1）
∵S△ABC=AB×hC=BC×hA=CA×hB
∴在（1）式的两边都除以S△ABC，得++=1
即++=1，即平面内的结论成立
当P为四面体ABCD内一点时，VP-BCD+VP-CDA+VP-ABD+VP-ABC=VD-ABC，
两边都除以VD-ABC，得+++=1
类似平面中结论证明的方法，可得+++=1
故答案为：+++=1