Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）求证：当x∈（0，e]时，e²x-＞lnx+．

Answer

（1）求导函数，利用函数f（x）在[1，2]上是减函数，可得≤0在[1，2]上恒成立，考查函数h（x）=2x2+ax-1，即可确定a的取值范围；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数g（x）的最小值是3，即可求出a的值；
（3）原不等式成立只须e2x-lnx＞+成立．利用g（x）=e2x-lnx≥3，证明+＜3即可．
（1）【解析】
求导函数可得
因为函数f（x）在[1，2]上是减函数，所以≤0在[1，2]上恒成立，
令 h（x）=2x2+ax-1，有得，∴；
（2）【解析】
假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′（x）=
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=（舍去），
②当0＜＜e时，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增
∴g（x）min=g（））=1+lna=3，a=e2，满足条件．
③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=（舍去），
综上，存在实数a=e2，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3．
（3）证明：由（2）知当a=e2，g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，即g（x）=e2x-lnx≥3
又原不等式成立只须e2x-lnx＞+成立
令F（x）=+，则F′（x）=
当0＜x≤e时，F'（x）≥0，∴F（x）在（0，e]上单调递增
故F（x）max=F（e）=3
故当x∈（0，e]时，e2x-＞lnx+，即原命题得证