Question

如图是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）设AB₁垂直于BC₁，且BC=2，求点C到平面DBC₁的距离．

Answer

（1）利用线线平行证明线面平行即可；
（2）先作出直线AB1在平面BCC1B1内的射影，利用平面几何知识求出BB1的长，再利用三棱锥的换底性，用等体积法求解即可．
【解析】
（1）证明：几何体的直观图，如图，

连接BC1和B1C，交点为O，则O为B1C的中点，连接OD，
∵D为中点，∴OD∥AB1，
又AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面ABC1，
∴AB1∥平面BDC1．
（2）过D作DG⊥BC，垂足为G，连接GO，
∵侧面垂直于底面，∴DG⊥侧面BCC1B1，
∴OD在侧面BCC1B1内的射影为GO，
∵BC=2，△ABC为等边三角形，∴DG=，
连接B1F，则B1F为AB1在侧面BCC1B1内的射影，
∵AB1⊥BC1，由三垂线逆定理得B1F⊥BC1，如图：
设BB1=x，∵∠FB1B=∠BC1B1，∴，∴BB1=，
=，
∵BD=，DC1=，BC1=，∴BD⊥DC1，
∴=
用等体积法．