Question

设{a_n}是各项都为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n-b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，根据等差等比数列的通项公式，结合题意建立关于q、d的方程组，解出q=2且d=4，即可得到数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）由（1）的结论，算出{an}的前n项和为Sn=2n-1，从而得到Sn-bn=2n-4n+2，再利用等差等比数列的前n项和公式加以计算，即可得到数列{Sn-bn}的前n项和Tn的表达式．
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，
∵a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=25．
∴q2+（1+4d）=21，q4+（1+2d）=25
解之得q=2，d=4（舍去负值）
∴an=a1qn-1=2n-1，bn=b1+（n-1）d=4n-3
即数列{an}的通项公式为an=2n-1，{bn}的通项公式bn=4n-3；
（2）由（1）得{an}的前n项和Sn==2n-1，
∴Sn-bn=2n-1-（4n-3）=2n-4n+2
因此，{Sn-bn}的前n项和为
Tn=（21-4×1+2）+（22-4×2+2）+…+（2n-4×n+2）
=（2+22+…+2n）-4（1+2+…+n）+2n
=2n+1-2-4×+2n=2n+1-2n2-2．