Question

已知函数y=f（x）=ln（kx+），（k＞0）在x=1处取得极小值．
（1）求k的值；
（2）若f（x）在（，f（））处的切线方程式为y=g（x），求证当x＞0时，曲线y=f（x）不可能在直线y=g（x）的下方．

Answer

（1）对函数求导，由已知得；
（2）由（1）知，则，即可得到y=f（x）在的切线方程，
将问题转化为f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
令，求出，故ϕ（x）≥0即f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，得证．
【解析】
（1），
由已知得．…（3分）
（2）当k=1时，
此时y=f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增…（5分）
由于，，
则y=f（x）在的切线方程为，即…（8分）
当x＞0时，曲线y=f（x）不可能在直线y=g（x）的下方⇔f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
令，
当，，
即ϕ（x）≥0即f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
所以当x＞0时，曲线y=f（x）不可能在直线y=g（x）的下方…（13分）