Question

甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额都为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为（n²-n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元．
（1）设甲、乙两超市第n年销售额分别为a_n，b_n，求a_n，b_n的表达式；
（2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年．

Answer

（1）利用Sn=（n2-n+2），即an=Sn-Sn-1，可求an的表达式；n≥2时，bn-bn-1=（）n-1a，利用bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1），可求bn的表达式；
（2）利用（1）中an，bn的表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
【解析】
（1）设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn=（n2-n+2）．
因n=1时，a1=a；n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-n+2）-[（n-1）2-（n-1）+2]=a（n-1），
故an= 又因b1=a，n≥2时，bn-bn-1=（）n-1a．
故bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=a+a+（）2a+…+（）n-1a=[1++（）2+…+（）n-1]a=×a=[3-2•（）n-1]a．
显然n=1也适合，故bn=[3-2•（）n-1]a（n∈N*）．
（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；当n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；
当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被收购．
当n≥4时，令an＞bn，则（n-1）a＞[3-2•（）n-1]a，∴n-1＞6-4•（）n-1，即n＞7-4•（）n-1．
又当n≥7时，0＜4•（）n-1＜1，故当n∈N*且n≥7时，必有n＞7-4•（）n-1．
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．