Question

已知函数．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若的图象的上方．

Answer

（I）求出函数的定义域，求出导函数，求出导函数的根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出单调区间．
（II）构造新函数h（x）=f（x）-g（x），求出h（x）的导函数，判断出h′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，判断出h（x）递增，求出h（x）的最小值，判断出最小值大于0，判断出h（x）＞0，判断出f（x）＞g（x），得证．
【解析】
（I）∵，
又
令f'（x）=0，则x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - +
f（x） 递减 极小值 递增

故f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
（II）令
=
∵x＞1
∴h'（x）＞0
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增

当x＞1时，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方．