Question

已知几何体A-BCED的三视图、直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体A-BCED的体积V的大小；
（2）求二面角A-ED-B的余弦值．

Answer

（1）由三视图可知，AC=BC=CE=4，BD=2，且AC、BC、CE两两互相垂直．代入棱锥体积公式，可得答案．
（2）过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得∠AGC为二面角A-ED-B的平面角，解△ACG可得答案
（2）坐标法：分别求出平面BDE的一个法向量和平面ADE的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A-ED-B的余弦值．
【解析】
（1）由三视图可知，AC=BC=CE=4，BD=2，
且AC、BC、CE两两互相垂直．
∴几何体A-BCED的体积
（6分）
（2）AC⊥平面BCE，
过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．
可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE
∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角． （10分）
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=，
∴．
∴．
∴二面角A-ED-B的余弦值为． （14分）
方法二：（坐标法）
（2）平面BDE的一个法向量为，（8分）
设平面ADE的一个法向量为，，
∵，
∴
从而-4x+4y+2z=0，-4y+2z=0，
令y=1，则，（12分）
显然二面角A-ED-B是锐二面角，设其平面角为θ，
则cosθ=
∴二面角A-ED-B的余弦值为．（14分）