Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（其中b，c为实常数）．
（Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值为5，最小值为-1，求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在这样的函数y=f（x），使得{y|y=x²+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]？若存在，求出函数y=f（x）的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）问题转化为二次函数y=x2+bx+c在给定区间[-1，1]上的最值问题，即要判断函数在[-1，1]上的单调性，继而得到函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）问题转化为二次函数y=x2+bx+c的定义域与值域为[-1，0]，通过对参数b分类讨论，得到关于b与c的关系式，继而得到函数y=f（x）的解析式．
【解析】
（Ⅰ）由条件知f（x）=x2+bx+c，x∈[-1，1]的最大值为5，最小值为-1
而b＞2，则对称轴，
则，即，解得
则f（x）=x2+3x+1．
（Ⅱ）①若b≥2，则，
则，解得，此时f（x）=x2+2x
②若b≤0，则，
则，解得，此时f（x）=x2-1
③若0＜b≤1，则，
则，解得（舍）或（舍），
此时不存在函数f（x）
④若1＜b＜2，则，
则，解得（舍）或（舍），
此时不存在函数f（x）
综上所述存在函数f（x）=x2-1和f（x）=x2+2x满足条件．