Question

记集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．
（Ⅰ）令函数f（x）=x²+bx+c
（1）若A≠∅，求证：B≠∅；
（2）若A=∅，判断B是否也为空集；
（Ⅱ）（1）证明A⊆B；
（2）若f（x）为增函数，研究集合A和B之间的关系，并证明你的结论．

Answer

（I）（1）先确定方程，再结合根的判别式，可得结论；
（2）A=∅，方程无解，结合根的判别式，可得结论；
（II）（1）分类讨论，利用集合包含关系的定义，可得结论；
（2）任取x∈B，则f（f（x））=x，分类讨论，可得x=f（x），即x∈A，则B⊆A，从而可得结论．
（Ⅰ）【解析】
由f（x）=x2+bx+c得f（f（x））=f2（x）+bf（x）+c及c=f（x）-x2-bx
由f（f（x））=x得到f2（x）+bf（x）+c=x，即f2（x）+bf（x）+f（x）-x2-bx=x
整理得到f2（x）-x2+b（f（x）-x）+（f（x）-x）=0，即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0①
即f（x）-x=0或f（x）+x+b+1=0，
即x2+（b-1）x+c=0②或x2+（b+1）x+b+c+1=0③
方程②的判别式△=（b-1）2-4c
方程③的判别式
（1）若A≠ϕ，即f（x）-x=0有解，即x2+（b-1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解，即B≠ϕ
（2）若A=ϕ，即△＜0，则△1＜0，②和③均无解，则①无解，即B=ϕ----------------（6分）
（Ⅱ）（1）证明：若A=ϕ，则A⊆B
若A≠ϕ，任取x∈A，则f（x）=x，则f（f（x））=f（x）=x，
即x∈B，即A⊆B--------------------------------------------（8分）
（2）【解析】
任取x∈B，则f（f（x））=x，
若x＞f（x），因为函数f（x）为增函数，则f（x）＞f（f（x））=x，产生矛盾；
若x＜f（x），因为函数f（x）为增函数，则f（x）＜f（f（x））=x，产生矛盾，
则x=f（x），即x∈A，则B⊆A
再由（1）得A=B-------------------------------------（12分）