Question

在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC=CD=1．
（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的大小；
（Ⅲ）若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度．

Answer

（Ⅰ）要证平面ACD⊥平面ABC，只需证明平面ACD内的直线CD，垂直平面ABC内的两条相交直线AB，BC，即可证明CD⊥平面ABC，从而证明平面ACD⊥平面ABC．
（Ⅱ）说明∠CBD是二面角C-AB-D的平面角，解Rt△BCD，求二面角C-AB-D的大小；
（Ⅲ）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH．说明∠BDH为BD与平面ACD所成的角，利用直线BD与平面ACD所成的角为30°，解三角形求线段AB的长度．
【解析】

（Ⅰ）证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．（2分）
又∵CD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）∵AB⊥BC，AB⊥CD，
∴AB⊥平面BCD∴AB⊥BD．
∴∠CBD是二面角C-AB-D的平面角．（6分）
∵在Rt△BCD中，BC=CD，
∴∠CBD=45°．
∴二面角C-AB-D的大小为45°．（9分）
（Ⅲ）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH．∵平面ACD⊥平面ABC，
∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角．（12分）
∴∠BDH=30°．
在Rt△BHD中，，
∴．
又∵在Rt△BHC中，BC=1，
∴∠BCH=45°，
∴在Rt△ABC中，AB=1．（14分）