Question

已知：y=f（x）定义域为[-1，1]，且满足：f（-1）=f（1）=0，对任意u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（1）判断函数p（x）=x²-1 是否满足题设条件？
（2）判断函数g（x）=，是否满足题设条件？

Answer

由对任意u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．可得函数图象上（u，f（u）），（v，f（v））两点连续的斜率|k|≤1
（1）利用导数法，分析函数p（x）=x2-1切线斜率的范围，可知函数p（x）=x2-1 不满足题设条件
（2）分类讨论①当这两点的横坐标均在区间[-1，0]上时，②当这两点的横坐标均在区间[0，1]上时，③当这两个点的横坐标分别位于区间[-1，0]和区间[0，1]上时，综合讨论结果，可得函数g（x）=满足题设条件
【解析】
若|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
则=|k|≤1
即函数图象上任取两点连线的斜率均不大于1
（1）若p（x）=x2-1，则p′（x）=2x
当这两点的横坐标均在区间[-1，-）或（，1]时，显然不符合要求
故函数p（x）=x2-1 不满足题设条件
（2）若函数g（x）=，
当这两点的横坐标均在区间[-1，0]上时，k=1恒成立满足要求
当这两点的横坐标均在区间[0，1]上时，k=-1恒成立满足要求
当这两个点的横坐标分别位于区间[-1，0]和区间[0，1]上时，0≤k＜1满足要求
故函数g（x）=满足题设条件