Question

设函数
（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（I）根据f（x）在x=2时有极值可知f′（2）=0，求出a的值，然后根据导数符号确定函数的单调区间；
（II）若f（x）在定义域上是增函数，则f'（x）≥0在x＞0时恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最值，即可求出所求．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）在x=2时有极值，
∴有f′（2）=0，…（2分）
又，∴有，
∴…（5分）
∴有=，
由f′（x）=0有，…（7分）
将x，f′（x），f（x）关系列表如下，定义域为（0，+∞）

x x=2 x＞2
f'（x） + - +
f（x） 递增 递减 递增

∴f（x）的递增区间为和[2，+∞），递减区间为…（9分）
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，则f'（x）≥0在x＞0时恒成立，…（10分）
∵，
∴需x＞0时ax2-2x+a≥0恒成立，…（11分）
化为恒成立，
∵，
∴a≥1，此为所求．…（14分）