Question

设M=10a²+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{a_n}的前三项．
（1）试比较M、P、Q的大小；
（2）求a的值及{a_n}的通项；
（3）记函数f（x）=a_nx²+2a_n+1x+a_n+2（n∈N*）的图象在x轴上截得的线段长为b_n，设T_n=）（n≥2），求T_n，并证明T₂T₃T₄…T_n＞．

Answer

（1）由M＞0，P＞0，Q＞0可求得a的范围，作差后通过分类讨论可比较它们间的大小关系；
（2）由（1）的结论及lgM，lgQ，lgP成公差为1的等差数列可得a值，根据等差数列的通项公式可得an；
（3）设f（x）与x轴交点为（x1，0），（x2，0），由2an+1=an+an+2，知-1为f（x）的一个零点，从而f（x）=（x+1）（anx+an+2）=0，可得x1，x2，进而可得bn，利用裂项相消法可得Tn，由，可对T2T3T4…Tn进行放缩得到结论；
【解析】
（1）由，得-2＜a＜13，
∵M-Q=10a2+83a+181＞0（∵△1＜0），M-P=10a2+80a+205＞0（∵△2＜0），∴M＞Q，M＞P，
又∵当-2＜a＜13时，P-Q=-24+3a，
则当-2＜a＜8时，P＜Q，此时P＜Q＜M，
当a=8时，P=Q，此时P=Q＜M，
当8＜a＜13时，P＞Q，此时Q＜P＜M；
（2）由（1）知，当-2＜a＜8时，即，∴，
解得，从而an=lgP+（n-1）×1=n-2lg2；
当8＜a＜13时，即，∴，a无解．
综上，a=，an=n-2lg2；
（3）设f（x）与x轴交点为（x1，0），（x2，0），
∵2an+1=an+an+2，∴-1为f（x）的一个零点，
∴当f（x）=0时有（x+1）（anx+an+2）=0，∴，
∴，
又∵an=n-2lg2＞0，∴，
∴，
∴=，
又，
∴．