Question

已知函数f（x）=
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若对于t∈[1，2]时，不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据解析式分类：x≥0时和x＜0时，分别代入解析式求出2x，再由指对互化求出x的值；
（2）根据t的范围将转化为：，再分离出m，设y=化简后，把2t作为一个整体求出范围，再利用二次函数的性质求出函数的最大值．
【解析】
（1）当x≥0时，，
即（2x）2-2×2x-1=0，解得，
∵2x＞0，∴，则；
当x＜0时，不成立，
∴，
（2）∵不等式2tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，
∴恒成立，
∵t∈[1，2]，∴，
即恒成立，即，
设y=，
∵t∈[1，2]，∴2t∈[2，4]，
∴当2t=2时，y取到最大值是-5，
∴m≥-5．