Question

有如下列命题：
①的最小值为2；
②lgx+log_x10的最小值是2；
③的最小值是4；
④若x＞0，y＞0且，则xy的最小值是64；
⑤若a＞0，b＞0，a+b=1，则的最小值是8；
写出所有正确命题的序号    ．

Answer

根据基本不等式的条件分别进行判断．
【解析】
①=，当且仅当，即x2+1=1，所以x=0时取等号，所以①正确．
②当0＜x＜1时，lgx＞0，所以②错误．
③，当且仅当，即sin2x=2取等号，显然不成立，所以③错误．
④由，得，解得xy≥64，所以xy的最小值是64，所以④正确．
⑤因为=，当且仅当a=且b=，即a=1，b=1时取等号，但a+b=2与a+b=1矛盾，所以⑤不正确．
故答案为：①④．