Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，
（1）求a₁，a₂．
（2）是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列；若存在，求出λ的值．
（3）令c_n=，若c_n＞m对任意的n∈N^*都成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由已知代入an=2an-1+2n+1（n≥2，n∈N*），且a3=39，即可求出a1，a2．
（2）假设存在实数λ，使得数列{}为等差数列，求出λ的值为1，再证明数列{}为等差数列即可．
（3）由（2）得到cn==，若cn＞m对任意的n∈N*都成立，只需m小于数列{cn}的最小项，即可得到实数m的取值范围．
【解析】
（1）由于数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n≥2，n∈N*），且a3=39，
则a3=2a2+23+1，a2=2a1+22+1，故a2=15，a1=5；
（2）若存在实数λ，使得数列{}为等差数列，
则也为等差数列，
故
解得λ=1，
由于=1
所以数列{}为等差数列，首项为，
故当λ=1时，数列{}为等差数列；
（3）由（2）知，
若令cn=，则cn=
由于cn≥cn+1等价于
即n2+4n+2=（n+2）2-2≤0无解，故恒有cn≥cn-1
若cn＞m对任意的n∈N*都成立，则必有=3=c1＞m
则实数m的取值范围为m＜3．