Question

如图，矩形 ADEF与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．    
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面BDE．

Answer

（Ⅰ）取DE中点N，连结MN，AN，证明四边形ABMN为平行四边形，从而可证BM∥平面ADEF；
（II）先证明ED⊥平面ABCD，可得ED⊥BC，再利用勾股定理，证明BC⊥BD，利用线面垂直的判定定理，证明BC⊥平面BDE．
证明：（Ⅰ）取DE中点N，连结MN，AN．
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，…（2分）
所以MN∥CD，且．
由已知AB∥CD，，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形．                 …（4分）
所以BM∥AN．
又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．        …（6分）
（Ⅱ）在矩形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．                …（9分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得．
在△BCD中，，
因为BD2+BC2=CD2，所以BC⊥BD．
因为BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．…（13分）