Question

已知f（x）=x³-3tx（t∈R）．
（Ⅰ）当t=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=|f（x）|（x∈[0，1]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer

（Ⅰ）当t=1时，求函数的导数，利用导数求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用导数研究何时能的最大值，主要要进行分类讨论．
【解析】
（Ⅰ）因为f'（x）=3x2-3t，
当t=1时，f（x）有递减区间（-1，1），递增区间 （-∞，-1），（1，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）当t≤0时，f（x）在[0，1]上为增函数，所以f（x）≥f（0）=0，
所以F（t）=f（1）=1-3t，…（8分）
当t＞0时，
1），即t≥1，g（x）=-f（x），f（x）在[0，1]上为减函数，
F（t）=-f（1）=3t-1，…（10分）
2），即，F（t）=-f（）=…（12分）
3），即0＜t＜，F（t）=f（1）=1-3t．…（14分）
综上，．…（15分）