Question

已知实数x，y满足2x+y≥1，则u=x²+y²+4x-2y的最小值为    ．

Answer

根据题意，设点P（x，y），它在区域2x+y≥1内运动，u表示点P（x，y）与定点A（-2，1）的距离的平方与5的差，问题转化为求定点A（-2，1）到由2x+y≥1所确定的平面区域的最近距离，故A到直线l的距离为A到区域G上点的距离的最小值，由此结合点到直线l的距离公式，即可得到u的最小值．
解析：由u=x2+y2+4x-2y=（x+2）2+（y-1）2-5
知，u表示点P（x，y）与定点A（-2，1）的距离的平方与5的差．
又由约束条件2x+y≥1知：
点P（x，y）在直线l：2x+y=1上及其右上方．
问题转化为求定点A（-2，1）到由2x+y≥1所确定的平面区域的最近距离．
故A到直线l的距离为A到区域G上点的距离的最小值．
d==，
∴d2=，
∴umin=d2-5=-．
故答案：-