Question

已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．

Answer

（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2-4x+2-a．
当a=2时，，f'（1）=2-4=-2，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，
即 6x+3y-5=0．
（Ⅱ）【解析】
方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，
令 f'（x）=0，得 ，或．f（x）和f'（x）的情况如下：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ ↘ ↗

故f（x）的单调增区间为，；单调减区间为．
①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．
②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．
③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7-3a．
综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；
当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；
当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7-3a．