Question

已知f（x）=2cos²x+sin2x，
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）的单调递增区间．

Answer

（1）由于f（x）=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1，从而可求f（x）的周期；
（2）利用正弦函数的性质可求f（x）=2sin（2x+）+1的值域；
（3）由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）即可求得f（x）的单调递增区间．
【解析】
（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1，
∴其周期T==π；
（2）∵-1≤sin（2x+）≤1，
∴-1≤2sin（2x+）+1≤3，即f（x）的值域为[-1，3]；
（3）由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）．