Question

已知数列a_n满足：a₁=2，a_n+1=2a_n+1；
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列n（a_n+1）的前n项和．

Answer

（1）由已知可得an+1+1=2an+2=2（an+1），由等比数列的定义可得；
（2）由（1）可得an+1=3×2n-1，进而可得an=3×2n-1-1；
（3）由（2）可得n（an+1）=3n×2n-1，下由错位相减法求和可得．
【解析】
（1）由已知可得an+1+1=2an+2=2（an+1），
故可得数列{an+1}是2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知数列{an+1}的公比为2，首项为3
故可得an+1=3×2n-1，故an=3×2n-1-1；
（3）由（2）可得n（an+1）=3n×2n-1，
故数列n（an+1）的前n项和
Sn=3（1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1） ①
两边同乘以2可得：
2Sn=3（1×21+2×22+3×23+…+n×2n） ②
①-②可得：-Sn=3（1+21+22+23+…+2n-1-n×2n）
=3（-n×2n）=3（1-n）2n-3，
故Sn=3（n-1）2n+3