Question

已知函数f（x）=-x³+12x，（1）求函数的单调区间；（2）当x∈[-3，1]时，求函数的最大值与最小值．

Answer

（1）先对函数f（x）求导数f'（x），然后根据导数f'（x）的零点得出导数大于零和导数小于零的区间，导数大于零的区间是函数的增区间，而导数小于零的区间是函数的减区间；
（2）根据（1）将区间[-3，1]，分成两段：在区间（-3，-2）上函数为减函数，在区间（-2，1）上函数为增函数．从而得到f（-2）是函数的最小值，而最大值是f（-3）和f（1）两者的较大者．
【解析】
（1）∵f'（x）=-3x2+12=-3（x-2）（x+2），
由f'（x）＞0，得x∈（-2，2），∴x∈（-2，2）时，函数为增函数；
同理x∈（-∞，-2）或x∈（2，+∞）时，函数为减函数．
综上所述，函数的增区间为（-2，2）；减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）…（4分）
（2）由（1）结合x∈[-3，1]，得下表：

x -3 （-3，-2） -2 （-2，1） 1
f'（x） - +
f（x） 端点函数值
f（-3）=-9 单调
递减 极小值f（-2）=-16 单调
递增 端点函数值
f（1）=11

比较端点函数及极值点的函数值，得
x=-2时，f（x）min=f（x）极小值=f（-2）=-16，
x=1时，f（x）max=f（1）=11
综上所述，函数的最大值为11，最小值为-16…（8分）