Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．

Answer

（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数，根据函数表达式易求弦长最大时m的值；
【解析】
（1）由得5x2+2mx+m2-1=0，
当直线与椭圆有公共点时，△=4m2-4×5（m2-1）≥0，即-4m2+5≥0，
解得-，
所以实数m的取值范围是-；
（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，，，
所以弦长|AB|===•=，
当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．