Question

选修4-2矩阵与变换
（Ⅰ）已知矩阵A=所对应的线性变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求A^-1．
（Ⅱ）已知是矩阵B=属于特征值λ₁=2的一个特征向量，求矩阵B及其另一个特征值及其对应的一个特征向量．

Answer

（I）因为矩阵A=对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，即直线l上的点经过变换后没有变，因此取直线l上的两点，对其进行变换列出方程方程组解出a、b得到矩阵M，最后根据逆矩阵的公式可求出A-1．
（II）根据特征多项式的一个零点为2，解出c=1且d=2，得B=，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=1，由此即可求出其对应的一个特征向量．
【解析】
（I）在直线l上取两点（，0），（0，-3）．
因为•=，•=，…（6分）
∵A对应的变换把直线变换为自身，所以点（-，b），（-3a，-9）仍在直线l上．
代入直线方程得，解之得
可得矩阵A=，运用逆矩阵公式得
A-1==…（10分）
（II）根据题意，•=2
∴，解之得c=1且d=2，得B=
由B的特征多项式f（λ）==0，解得矩阵B的另一个特征值λ2=1
因此，是属于特征值λ2=1的特征向量．