Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-＜a₁＜0，=f（a_n） （n∈N^*）
（1）求f（x）在[-，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer

（1）先求导函数，从而可得f（x）=3-4x+2xln2在[-，0]上是增函数，进而可求f（x）的最大值与最小值；
（2）当n=1时，由已知可知命题成立；假设当n=k时命题成立，即成立，则当n=k+1时，由（1）得=f（ak），故可得证．
（3），构造函数g（x）=f（x）-2x+1，可证g（x）在[-，0]上是减函数，从而可得，故得解．
【解析】
（1）f′（x）=（1-4x）ln4…（1分）
当时，，∴f′（x）＞0
∴f（x）=3-4x+2xln2在[-，0]上是增函数，…（2分）
∴f（x）的最大值为：f（0）=2 …（3分）
f（x）的最小值为：…（4分）
（2）①当n=1时，由已知可知命题成立；…（5分）
②假设当n=k时命题成立，即成立，
则当n=k+1时，由（1）得=f（ak）
又，
∴
∴，
这就是说，当n=k+1时命题成立．…（7分）
由①，②可知，命题对于n∈N*都成立．…（8分）
（3）
记g（x）=f（x）-2x+1，得g′（x）=f′（x）-2x+1ln2=（1-2x-4x）ln4
当时，
故
所以g′（x）＜0，得g（x）在[-，0]上是减函数，…（10分）
∴g（x）＞g（0）=f（0）-2=0
∴
即
∴an+1＞an…（12分）