Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁B；
（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P-A₁BC的体积．

Answer

（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证；
（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P-A1BC的体积可转化成求三棱锥A1-PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．
【解析】
（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
∴A1A⊥BC （2分）
∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，
∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，
AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，
∴BC⊥平面A1AB，（5分）
又A1B⊂平面A1BC，
∴BC⊥A1B；（6分）
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥AB．
∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，
∴AD⊥A1B．
在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，
，∠ABD=60°，
在Rt∠△ABA1中，．（8分）
由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，
从而BC⊥AB，．
∵P为AC的中点，（10分）
∴=．（12分）