Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（c＞0）的导函数的图象如图所示：
（1）求a，b；
（2）令g（x）=，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

Answer

（1）先求出f′（x）=2ax+b，根据图象可得f′（x）=2x+1，由此可得a，b的方程组；
（2）由（1）先求出g（x），从而可得g′（x）=，分≤1，1＜＜2，≥2三种情况进行讨论，根据导数符号与单调性的关系可得最大值；
【解析】
（1）因为f′（x）=2ax+b，由图可知，f′（x）=2x+1，
由，解得，
（2）g（x）===x++1，则g′（x）=1-=，
①若≤1，即0＜c≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上递增，
故g（x）max=g（2）=3；
②若1＜＜2，即1＜c＜4，
当1≤x＜时，g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；当＜x≤2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；
又g（1）=c+2，g（2）=+3，
所以当1≤c≤2时，g（1）≤g（2），即g（x）max=g（2）=+3；
当2＜x≤4时，g（1）＞g（2），即g（x）max=g（1）=c+2；
③若≥2，即c≥4时，g′（x）≤0，g（x）在[1，2]上单调递减，
故g（x）max=g（1）=c+2；
综上所述，；