Question

已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x，x∈R，数列{a_n}，{b_n}满足条件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1），n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n+1}为等比数列；
（2）令c_n=，T_n是数列{c_n}的前n项和，求使T_n＞成立的最小的n值．

Answer

（1）由题意，2bn+1=bn+1，两边同加1，即可证得数列{bn+1}为首项是1，公比为2的等比数列；
（2）求出bn+1=2n-1，可得an=2bn+1=2n-1，对cn=裂项，从而可求Tn的值，利用Tn＞，即可求得使Tn＞成立的最小的n值．
（1）证明：由题意，2bn+1=bn+1，
∴2（bn+1）=bn+1+1
∵a1=2b1+1=1，∴b1=0，∴b1+1=1≠0
∴数列{bn+1}为首项是1，公比为2的等比数列；
（2）【解析】
由（1）知，bn+1=2n-1，∴an=2bn+1=2n-1
∴cn==-
∴Tn=（1-）+（-）+…+（-）=1-
∵Tn＞，∴2n+1＞2013，∴n≥10
∴使Tn＞成立的最小的n值为10．