Question

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内
（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

Answer

（1）首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C52种，再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A55种投放法
（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A55种，而球的编号与盒子编号 全相同只有1种．减去即可．
（3）先求不合要求的放法：恰有一球相同的放法，五个球的编号与盒子编号全不同的放法．
【解析】
首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C52=10种，
再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A55=120种投放法．
∴共计10×120=1200种方法
（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A55种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有   A55-1=119种．        
（3）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C51×9=45，
第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：
∴满足条件的放法数为：
A55-45-44=31（种）．