Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（1）求直线MN与平面A₁B₁C所成的角；
（2）在线段AC上是否存在一点E，使得二面角E-B₁A₁-C的余弦值为？若存在，求出AE的长，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）分别B1A1、B1C1、B1B为x、y、z轴，建立空间直角坐标系B1-xyz，如图所示．算出B1、C、A1、B的坐标，从而得到M、A、C、N各点的坐标，得、、的坐标，进而算出且，利用线面垂直的判定定理得到MN⊥平面A1B1C，即MN与平面A1B1C所成的角为90°；
（2）设E（x，y，z）且=λ，可得=（2-2λ，2λ，2），利用垂直向量数量积为零的方法算出平面A1B1E的一个法向量为=（0，-，1）．平面A1B1C的法向量为=（0，1，-1），由二面角E-B1A1-C的余弦值为利用空间向量的夹角公式，建立关于λ的方程解出λ=得到AE=，从而得出存在满足条件的点E．
【解析】
（1）分别B1A1、B1C1、B1B为x、y、z轴，建立空间直角坐标系B1-xyz，如图所示
可得B1（0，0，0），C（0，2，2），A1（2，0，0），B（0，0，2），
则M（1，0，2），A（2，0，2），C（0，2，2），N（1，1，1）------------（2分）
=（0，2，2），=（0，1，-1），=（2，0，0）
∵，且，--------（4分）
∴MN⊥B1C，MN⊥B1A1
结合B1C∩B1A1=B1，可得MN⊥平面A1B1C
即MN与平面A1B1C所成的角为90°．-----------------（5分）
（2）设E（x，y，z），且=λ，--------------（6分）
则（x-2，y，z-2）=λ（-2，2，0）
解之得x=2-2λ，y=2λ，z=2，=（2-2λ，2λ，2）-------（7分）
由（1）可知：平面A1B1C的法向量为=（0，1，-1），
设平面A1B1E的法向量为，
则，
则可解得=（0，-，1），----------------（9分）
∴=，可得2λ2-5λ+2=0，解之得或2-------（11分）
由于点E在线段上，所以λ=，此时AE=
即在线段AC上存在一点E，当AE的长为时，二面角E-B1A1-C的余弦值为．---------（12分）