Question

已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y²=2x相交于A、B两点，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求证：直线L过定点；
②求点E的轨迹方程．

Answer

①令直线ty=x-b（b≠0），与抛物线方程y2=2x联立得：y2-2ty-2b=0，利用韦达定理可得y1+y2=2ty1y2=-2b，结合OA⊥OB即可求得b的值，从而可证直线L过定点；
②依题意，可知点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O，从而可得点E的轨迹方程．
【解析】
①令直线ty=x-b（b≠0）与抛物线y2=2x相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（给直线方程给分）…（1分）
由得：y2-2ty-2b=0…（2分）
于是，y1、y2是此方程的两实根，由韦达定理得：y1+y2=2ty1y2=-2b…（3分）
x1x2=（ty1+b）（ty2+b）=t2y1y2+tb（y1+y2）+b2=b2…（4分）
又OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0…（5分）
∴b2-2b=0，又b≠0，
∴b=2…（6分）
故直线L：ty=x-2过定点C（2，0）…（8分）
②∵O（0，0），C（2，0），OE⊥CE…（9分）
∴点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O，…（11分）
故点E的轨迹方程为（x-1）2+y2=1（x≠0）…（12分）
说明：直线L的方程设为y=kx+b又没有讨论k不存在的情况扣（2分）；轨迹方程中没有限制     x≠0扣（1分）．