Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；   
（2）求的取值范围．

Answer

（1）根据离心率为，可得a2=b2，根据椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，可求b的值，从而可得椭圆的方程；
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可确定的取值范围．
【解析】
（1）由题意知 e==，∴e2===，即a2=b2
又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切
∴b==，∴a2=4，b2=3，
故椭圆的方程为
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-4）．
疳直线方程y=k（x-4）代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0
由△＞0得：1024k4-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，解得k2＜             
设A（x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=
∴
∵，
∴
∴的取值范围是