Question

已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：
①当a=4时，存在直线l与图象G恰有5个公共点；
②若对于∀m∈[0，1]，直线l与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；
③∀m∈（1，+∞），∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer

根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数f（x）（x∈R）的图象，利用图象对各个选项进行判断即可．
【解析】
根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数f（x）（x∈R）的图象，利用图象得出：
①当a=4时，偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：

存在直线l，如y=0，与图象G恰有5个公共点；故①正确；
②若对于∀m∈[0，1]，由于偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：

直线l与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；故②正确；
③∀m∈（1，+∞），偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：

∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．故③正确；
其中正确命题的序号是①②③．
故选D．