已知函数f（x）=a•2|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题： ①F（x）...

已知函数f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定义函数 manfen5.com 满分网

给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|；
②函数F（x）是奇函数；
③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正确命题的序号是（）
A．②
B．①③
C．②③
D．①②

由题意得，F（x）=，再写出|f（x）|的表达式，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；利用函数奇偶性的定义可证得当x＞0或x＜0时，F（-x）=-F（x）；故函数F（x）是奇函数，②正确；当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，利用函数的单调性可得③正确．【解析】由题意得，F（x）=，而|f（x）|=，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误； ∵函数f（x）=a•2|x|+1是偶函数，当x＞0时，-x＜0，则F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）；当x＜0时，-x＞0，则F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）；故函数F（x）是奇函数，②正确；当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，若mn＜0，m+n＞0，总有m＞-n＞0， ∴F（m）＜F（-n），即f（m）＜-F（n）， ∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正确．故选C．

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考点分析：

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已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：
①当a=4时，存在直线l与图象G恰有5个公共点；
②若对于∀m∈[0，1]，直线l与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；
③∀m∈（1，+∞），∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．
其中正确命题的序号是（）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
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在下列命题中，
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